Решение пропорций

Основные шкалы счетной линейки позволяют решать пропорции, т. е. по трем данным членам пропорции находить неизвестный четвертый член. Пусть в пропорции

заданы три члена а₁ b₁ и а₂, причем эти заданные числа заключены между числами 1 и 10; требуется найти четвертый член b₂. Решение этой задачи на основных шкалах счетной линейки осуществляется с помощью правила пропорций. Надо установить движок так, чтобы число а₁ шкалы А оказалось точно против числа b₁ шкалы В. Тогда против числа а₂ шкалы А на шкале В будет находиться искомое число

Рассмотрим подробнее этапы решения задачи, расчленив весь процесс на отдельные операции (команды):

1) визирной линией бегунка отметить на шкале В число b₁

2) установить движок так, чтобы число а₁ шкалы А оказалось под визирной линией;

3) переместить бегунок так, чтобы визирная линия отметила число а₂ шкалы А;

4) под визирной линией на шкале В прочесть искомое число b₂.

Пример 1. Найти х из пропорции

Решение. Установим движок так, чтобы число 5 шкалы А стало против числа 4 шкалы В

тогда против числа 3 шкалы А прочтем на шкале В искомое значение

х = 2,4.

При решении пропорции может случиться, что операции 3) и 4) невыполнимы, так как число а₂ шкалы А выйдет за границы шкалы В и, значит, против него не окажется никакого числа шкалы В. Это означает, очевидно, что искомый член пропорции меньше 1 или больше 10. В таком случае для решения задачи применяется переброска движка, состоящая из двух следующих операций, выполняемых между операциями 2) и 3):

2.1 отметить визирной линией положение того конца шкалы А, который не выходит за границы шкалы В;

2.2 передвинуть движок так, чтобы под визирной линией оказался второй конец шкалы А.

После переброски движка против числа а₂ шкалы А на шкале В будет стоять не искомое число а число, в 10 раз большее, если движок переброшен вправо, или в 10 раз меньшее, если движок переброшен влево.

Для доказательства рассмотрим схему переброски движка вправо, изображенную на рисунке. Поскольку правило пропорций должно иметь место как до переброски движка, так и после нее, то должны быть справедливы следующие две пропорции:

Отсюда следует, что

Сравнивая пропорции, заключаем, что b₂ = 0,1с или с = 10b₂.

Аналогично доказывается утверждение относительно переброски движка влево.

Пример 2. Найти х из пропорции

Решение. Здесь начальная установка движка та же, что и в примере 1. Однако число 1,1 шкалы А выходит за левый конец шкалы В. Поэтому для решения задачи требуется переброска движка вправо.

После переброски движка против числа 1,1 шкалы А на шкале Б оказывается число 10х = 8,8; следовательно, х = 0,88.

Примечание. На некоторых линейках для уменьшения количества перебросок движка шкалы А и В продлены влево до 0,88 и вправо до 11,2. Искомую пропорцию на таких линейках можно решать на шкалах А и В без переброски движка.

Решение пропорций на логарифмическом диске. Выпускаемый московским заводом «Калибр» логарифмический диск «Спутник» позволяет полностью избежать перебросок движка при решении пропорций. Основная шкала А логарифмического диска нанесена на неподвижном внешнем циферблате, шкала В — на подвижном внутреннем циферблате .

Благодаря круговому расположению шкал никакой член пропорции не может выйти за границу шкалы, и поэтому все действия на этом диске производятся без переброски движка; в остальном они выполняются так же, как и на обычной линейке. Преимущества логарифмического диска перед счетной линейкой особенно проявляются в тех задачах, где расчетная формула содержит большое количество операций умножения и деления. Но надо заметить, что точность установки чисел на диске «Спутник» меньше, чем на нормальной счетной линейке.