Нормализация чисел. Определение порядка результата вычислений

До сих пор мы считали, что в пропорции а₁/b₁= а₂/х исходные данные а₁ b₁ и а₂ заключены между 1 и 10. Определение порядка результата в этом случае можно производить по указанным выше правилам, что не вызывает затруднений. В общем же случае для быстрого и точного определения порядка результата следует предварительно нормализовать исходные данные, т. е. представить их в подходящем виде.

Условимся говорить, что число а нормализовано, если оно записано в виде

а = а₀*10ⁿ

где n — целое, а множитель а₀ заключен между 1 и 10 (1≤а₀<10). Будем называть а₀ основой, n — порядком числа а. Отметим, что целая часть основы есть одно из чисел 1, 2, ..., 9.

Примеры:

Рассмотрим умножение и деление чисел, представленных в нормализованном виде. Из, формул

видно, что умножение и деление нормализованных чисел сводится к умножению и делению их основ.

То же самое относится и к решению пропорции а₁/b₁= а₂/х

так как вычисление выражения х = а₂*b₁/а₁ сводится к умножению b₁ на а₂ и делению полученного произведения на а₁

Рекомендуем обратить внимание на то, что определение порядка результата (х) производится по готовой формуле решения, в то время как решение пропорции на счетной линейке не требует выписывания этой формулы.

Пример. Вычислить

Решение распадается на следующие этапы:

1) Производим нормализацию чисел а, b, с и записываем рассматриваемое выражение в виде

2) Прикидываем в уме

3) На счетной линейке выполняем необходимые вычисления, т. е. решаем пропорцию с₀/b₀= а₀/х, и записываем результат с учетом произведенной «прикидки»:

а₀b₀/с₀= 2,11

4) Выписываем окончательный результат:

Применение плавающей запятой. На практике при нормализации исходных данных нет надобности выписывать множитель 10ⁿ. Достаточно лишь воспользоваться так называемой плавающей запятой. Плавающая запятая отделяет первый знак числа (первую значащую цифру) и ставится сверху.

Например,

При этом порядок, т. е. число n, определяется количеством разрядов, отделяющих истинную запятую от плавающей; если плавающая запятая находится слева от истинной, то n положительно, если справа — отрицательно.

Рассмотренный выше пример вычисления записывается коротко следующим образом:

Применять плавающую запятую целесообразно только при записи исходных данных, т. е. тех чисел, над которыми производятся действия в расчетной формуле. Полученный результат следует выписывать с множителем 10ⁿ, т. е. уже без плавающей запятой. При этом показатель n подсчитывается по числу разрядов, на которые переносится плавающая запятая относительно истинной запятой: перенос плавающей запятой на один разряд влево в числителе увеличивает n на 1, а перенос ее на один разряд влево в знаменателе уменьшает n на 1.

Приведение чисел к нормализованному виду с помощью плавающей запятой особенно важно при выполнении большого количества действий.

Пример.

Здесь порядок результата вычислений с основами определен следующей прикидкой в уме:

Схема выполнения указанных действий будет рассмотрена в разделе "Умножение и деление".

Предупреждение. Прикидывая в уме порядок результата вычислений с основами, мы лишь приближенно оцениваем величину результата, но не получаем его первого знака.

Например,

Точно так же

Примечание. Иногда прикидку в уме можно упростить, округляя некоторые основы в большую сторону. Например,

(результат вычислений с тремя знаками 18,9).