Умножение и деление

При описании методов умножения и деления на счетной линейке удобно рассматривать эти операции как частные случаи решения пропорций. Действительно, решение пропорции а₁/b₁= а₂/х выражается формулой х = а₂*b₁/а₁ которая при а₁ = 1 дает произведение а₂*b₁  при b₁ = 1 или а₂ = 1 дает частное а₂/а₁ или b₁/а₁. Рассмотрим здесь наиболее употребительные схемы умножения и деления, причем будем считать, что исходные данные уже нормализованы. Другими словами, мы будем описывать умножение и деление чисел, заключенных между 1 и 10.

Вычисление произведения

ab = х

может быть сведено к решению пропорций разными способами, например, так:

Рассмотрим схему вычислений, соответствующую последней из написанных выше пропорций, что при нашем соглашении о реализации пропорций на счетной линейке ("Решение пропорций") означает получение результата на шкале В корпуса. Схема установки движка приведена на рисунке а.

Порядок выполнения операций здесь таков: против числа b шкалы В устанавливаем число 1 шкалы А, произведение х читаем на шкале В против числа а шкалы А.

Разумеется, порядок сомножителей а и b в произведении не играет никакой роли, выбор обозначений здесь сделан лишь для удобства обращения к шкалам А и В соответственно. На практике при умножении конкретных чисел нужна только схема умножения:

Против одного из сомножителей, отмеченного на шкале В корпуса, установить 1 шкалы А движка; перевести визир на второй множитель по шкале А; визир укажет произведение на шкале В корпуса.

Если произведение заданных сомножителей (которые мы предположили заключенными между 1 и 10) окажется больше 10, то для решения пропорции понадобится переброска движка, означающая просто, что против числа b шкалы В надо установить не число 1, а число 10 шкалы А, т. е. не левый, а правый конец этой шкалы (рисунок б). При этом против числа а шкалы А мы прочтем не искомое произведение х, а 0,1х, так как движок перебрасывается влево и, следовательно, пропорция

заменяется на

Другими словами, произведение чисел а и b при умножении с помощью правого конца шкалы А будет в 10 раз больше числа, прочитываемого на шкале В по схеме рисунка б.

Пример 1. Вычислить произведение х = 2,12*3,48.

Так как 2*3 = 6 <10, то против числа 2,12 шкалы В устанавливаем левый конец (1) шкалы А; против числа 3,48 шкалы А читаем на шкале В результат х = 7,38.

Пример 2. Вычислить произведение х = 2,12*6,60.

Так как 2*6 = 12 > 10, то против числа 2,12 шкалы В устанавливаем правый конец (10) шкалы А; против числа 6,60 шкалы А читаем на шкале В результат (с учетом порядка): х = 14,0.

Примечание. Так как порядок произведения устанавливается без труда с помощью плавающей запятой, то во время работы на линейке о порядке результата можно не думать.

Вычисление частного

можно свести к решению одной из двух пропорций

которые приводят к двум различным схемам деления. Первая схема деления:

Против делимого (b), отмеченного визиром на шкале В корпуса, установить делитель (а) по шкале А движка. Частное (х) будет указано на шкале В тем концом шкалы А, который не выйдет за границы корпуса.

Более точно, если результат окажется против 1 шкалы А, то он даст искомое частное х; если же 1 шкалы А выйдет за границу шкалы В, то против 10 шкалы А следует читать результат 10х, так как пропорция

равносильна пропорции

Таким образом, первая схема деления не требует переброски движка. Вторая схема деления (рисунок II).

Против 1 шкалы В корпуса установить делитель (а) на шкале Л движка; перевести визир на делимое (b) по шкале А. Визир укажет частное (х) на шкале В.

При этом, если делимое b выйдет за границу шкалы В, понадобится переброска движка, означающая здесь просто установку делителя а не против 1, а против 10 шкалы В (и в этом случае снова получаем не х, а 10х). Вторая схема деления применяется главным образом в тех задачах, где делимое и делитель требуется установить на одной и той же шкале; задачи такого рода будут рассмотрены далее.

Вычисление выражений вида

В простейшем случае n=1 задача вычисления

сводится к решению пропорции

В общем случае, обозначая

получаем ряд пропорций

которые решаем последовательно:

При этом нет надобности читать промежуточные результаты х_1, х_2,...х_n-1, достаточно отметить положение x_k визирной линией, подвести под нее c_k+1 и затем перевести визирную линию на а_k+1 чтобы получить x_k+1 (k = 1, 2, ... n-1).