Линейная интерполяция
При пользовании таблицами различных функций часто возникает задача отыскания
значения функции для промежуточных значений аргумента (не приведенных в
таблице). В простейших случаях эта задача может быть решена путем линейной
интерполяции.
Линейная интерполяция опирается на предположение, что в промежутке
между двумя соседними табличными значениями аргумента рассматриваемую функцию
можно приближенно считать линейной, т. е. что в этом промежутке изменение
функции пропорционально изменению аргумента:
Введем следующие обозначения:
х1 и х2 — два соседних табличных значения аргумента,
у1 и у2 — соответствующие им значения функции,
X—промежуточное значение аргумента (х1 < X < х2),
У — соответствующее значение функции.
Тогда высказанное предположение выражается пропорцией
которую удобно решать на счетной линейке по схеме:
Найдя на линейке приращение Y—y1 мы без труда находим затем
искомое значение У.
Применение счетной линейки для линейной интерполяции особенно эффективно в
тех случаях, когда требуется найти сразу несколько промежуточных значений
функции. Для этого достаточна одна установка движка, перемещая визир на разные
значения X—x1 мы находим все поправки У—у1.
Пример. Пользуясь следующей таблицей логарифмов вычислить логарифмы
чисел от 6,2 до 6,4 через 0,05.
Решение. Здесь
Для разностей
X — x1 = 0,05;
0,10; 0,15
с помощью счетной линейки вычисляем поправки
У—у1 = 0,0035; 0,0069; 0,0104.
Прибавляя их к начальному значению уг, находим
Обратная линейная интерполяция заключается в отыскании значения аргумента X
по заданному значению функции У с помощью той же пропорции
для этой цели применима та же схема,
но теперь уже визир перемещают на значение У—у1 и находят поправку
к аргументу X—х1.
Пример. С помощью приведенной выше таблицы вычислить Х= 100,8,
т. е. найти такое значение X, при котором К= lg Х = 0,8.
Решение. Здесь
На счетной линейке для разности У—у1 = 0,0076 находим
откуда Х = 6,2+0,130 = 6,310.
|