Тригонометрические шкалы. Значения тригонометрических функций и им обратных

На оборотной стороне движка расположены шкалы, отмеченные буквами S, Т и S&Т :

На некоторых линейках эти шкалы обозначены соответственно «Sin», «Tg», «Sin/Tg». Шкалы S, Т и S&Т будем называть тригонометрическими.

Против каждого числа х₀ шкалы А на тригонометрических шкалах находятся значения следующих функций:

Другими словами, шкалы S и Т дают значения обратных тригонометрических функций arcsin х и arctg х для значений х в интервале 0,1 ≤ х < 1. Шкала S&T дает совмещенные значения arcsin х и arctg х для значений х в интервале 0,01 ≤ х < 0,1; различие между значениями arcsin х и arctg х для таких х меньше погрешности счетной линейки.

Значения arcsin х и arctgx на всех трех шкалах нанесены в градусной мере (в градусах и минутах). Это следует иметь в виду при определении цены деления шкалы.

Шкала S содержит углы α от 5°44' до 90° с резко меняющейся ценой деления:

Шкала Т содержит углы β от 5°44' до 45° со следующей ценой деления:

Шкала S&T содержит углы γ от 0°34' до 5°44' со следующей ценой деления:

Для отыскания значений тригонометрических функций синус и тангенс, а также им обратных, надо сопоставить шкалу А с подходящей тригонометрической шкалой. На обычных линейках, где тригонометрические шкалы и шкала А находятся по разные стороны движка, а визирная линия имеется только на лицевой стороне, вместо шкалы А применяют идентичную ей шкалу В в позиции, изображенной на рисунке.

Первая схема отыскания угла по его синусу или тангенсу.

Вынуть движок и вставить его оборотной стороной, совместив начало тригонометрических шкал и начало шкалы В.

Нормализовать число х = х₀-10ⁿ (n ≤ -1 т. е. 0 < х < 1) и установить визир против числа х₀ на шкале В. Визир укажет следующие углы в градусной мере:

Так например, на рисунке

визирная линия указывает:

Первая схема отыскания синусов и тангенсов углов.

Вынуть движок и вставить его оборотной стороной, совместив начало тригонометрических шкал и начало шкалы В. Для отыскания sin α при 5°44' < α < 90° установить визир против угла α на шкале S; визир укажет число х₀ на шкале В, тогда х = sin α  = х₀ • 10^-1.

Для отыскания tg β при 5°44' < β < 45° установить визир против угла на шкале Т визир укажет число х₀ на шкале В, тогда х = tg β = х₀ • 10^-1.

Для отыскания sin γ или tg γ при 0° < γ < 5°44' умножить угол γ на такой множитель 10^m (m целое число больше либо равно нулю), чтобы угол γ10^m оказался в пределах от 0°34' до 5°44' = 344', и установить визир против угла γ10^m на шкале S&T визир укажет число х₀ на шкале B, тогда

Примечание 1. Для малых углов γ < 5°44' следует считать (с точностью расчетов на линейке):

Поэтому для указанных значений аргумента отыскание синуса или тангенса по углу (и обратно) сводится просто к пересчету угла из градусной меры в радианную (и обратно). Сопоставление шкалы S&T со шкалой А (или В) как раз и осуществляет такой пересчет для углов у от 0°34' до 5°44' (для х от 0,01 до 0,1). Применение той же шкалы S&T для меньших углов опирается на пропорциональность градусной и радианной мер угла (см. "Расчет таблицы пропорциональной зависимости").

Примечание 2. Отыскание тангенсов углов, заключенных между 45° и 90°, а также углов по их тангенсам, большим 1, описано далее. Отыскание синусов и тангенсов углов, больших 90°, производится по формулам приведения.

Примечание 3. На счетных линейках, имеющих двустороннюю визирную линию (как на лицевой так и на оборотной стороне линейки), указанные выше схемы не требуют перевертывания движка. В частности, на логарифмическом диске «Спутник» (см. "Решение пропорций") визирные стрелки вращаются одновременно на лицевой и на оборотной сторонах диска, что позволяет сразу отыскивать синусы и тангенсы углов (и обратно).

Для непосредственного сопоставления шкалы А с тригонометрическими шкалами на оборотной стороне корпуса обычной линейки имеются специальные риски против концов шкалы В. Эти риски вместе с концами шкалы В служат в качестве двусторонней визирной линии.

Вторая схема отыскания угла по его синусу или тангенсу.

Нормализовать число

и установить движок так, чтобы против какого-либо конца шкалы В оказалось число х₀ на шкале А. Риски на оборотной стороне линейки укажут на тригонометрических шкалах углы так же, как и по первой схеме.

Вторая схема отыскания синусов и тангенсов углов.

Выдвинуть движок так, чтобы под риской на нужной тригонометрической шкале оказался заданный угол. Конец шкалы В укажет на шкале А число х₀, тогда