Решение пропорций с применением функциональных преобразований. Предварительные замечания

Рассмотрим сначала один частный вопрос. Каким соотношением связаны четыре числа u, b₁, a₂, b₂, если они установлены так, как показано на рисунке:

т. е. если против чисел b₁ и b₂ и шкалы В находятся соответственно число u шкалы D и число а₂ шкалы А? Для решения этого вопроса обозначим через а₁ число, находящееся на шкале А против числа u шкалы D.

Учитывая, что при этом будет:

(см. раздел "Квадраты чисел и квадратные корни") и что на шкалах А и В образуется пропорция (см. раздел "Правило пропорций"):

получаем интересующее нас соотношение:

Решение этой пропорции относительно различных ее членов приводят к трем различным по структуре выражениям:

Вычисление любого из этих выражений выполняется с помощью тех же операций, которые были описаны в разделе "Решение пропорций", с заменой числа а₁ шкалы А на соответствующее ему число u, шкалы D; но теперь уже существенное значение имеет порядок операций. Например, чтобы вычислить выражение для b₁ по заданным a₂, b₂, u надо против числа b₂ шкалы В установить число а₂ шкалы А и затем перевести визир на число u по шкале D; тогда визир укажет число b₁ на шкале В. Такой порядок решения задачи особенно эффективен в тех случаях, когда ее надо решать для ряда различных значений u.

Пример. Вычислить значения функции

для значений аргумента u = 7, 8, 9, 10, 20, 30.

Решение. Установим движок так, чтобы против числа b₂ = 4 шкалы В находилось число а₂ = 5 шкалы А (см. рисунок).

Перемещая только визирную линию последовательно на числа 7, 8, 9, 10, 20, 30 по шкале D, мы прочтем против них на шкале В искомые значения функции z = 2,12; 2,26; 2,40; 2,53; 3,58; 4,38.