Общий вид задач, для решения которых достаточно одной установки движка

Как условились в разделе "Функциональные шкалы корпуса линейки", мы будем шкалу В считать шкалой аргумента х для всех шкал корпуса линейки, шкалу А — шкалой аргумента X для всех шкал движка. Одинаковым индексом будем отмечать точки, находящиеся друг против друга при фиксированной установке движка.

Выберем какие-либо две шкалы, которые по отношению к шкале В дают функции

аналогично выберем две шкалы для функций

на движке. Обратные функции обозначим соответственно g, g*, G, G*.

Рассмотрим установку движка на следующей схеме:

где на выбранных шкалах установлены друг против друга числа Y₁ и y_l, Z₂ и z₂ кружках здесь и в дальнейшем указываются значения аргументов X и х на шкалах А и В, соответствующие установленным числам). На шкалах А и В имеем пропорцию

Учитывая, что

перепишем пропорцию в виде

Данная пропорция определяет общий вид задач, для решения которых достаточна одна установка движка (мы здесь не учитываем возможной переброски движка).

Если заданы три значения, например, Y₁, y_l и Z₂  то установив их, как показано на рисунке, мы найдем искомое четвертое значение

Сохраняя установку движка и перемещая бегунок с визирной линией, мы получаем возможность решать ряд пропорций типа

Например, если Y₁и y_l остаются неизменными, a Z₂ принимает ряд значений, то мы находим все соответствующие значения z₂ при одной и той же установке движка.

Подчеркнем, что в пропорцию входят только значения функций, обратных к тем, которые представлены на шкалах линейки; например, можно составлять пропорции с корнями кубическими, но не с кубами, с синусами и тангенсами, но не с обратными тригонометрическими функциями.

Примечание. Так как на счетной линейке имеются две шкалы квадратов — на корпусе (С) и на движке (D), то можно составлять пропорции и с квадратами чисел. Действительно, каждой пропорции

на шкалах А и В соответствует пропорция

на шкалах С и D. Отсюда следует, что при любой фиксированной установке движка все числа шкалы D пропорциональны расположенным против них числам шкалы С. Например, на следующем рисунке

на шкалах С и D можно прочесть пропорции

Таким образом, пропорции можно решать не только на основных шкалах, но и на шкалах С и D. Однако точность установки и чтения чисел на шкалах С и D значительно меньше, чем на шкалах А и В (относительная погрешность установки чисел на шкалах С и D вдвое больше, чем на шкалах А и В). С другой стороны, как легко сообразить, на шкалах С и D можно решать пропорции без переброски движка. Поэтому шкалами С и D пользуются для решения пропорций только в тех расчетах, в которых основным требованием является не точность, а быстрота.