Счетная линейка. Выбор наилучшей схемы расчета

Если надо решить одну отдельно взятую задачу, то порядок выполнения элементарных операций для ее решения не имеет особого значения. Но если надо решить серию однотипных задач (отличающихся лишь числовыми значениями исходных данных), то целесообразно заранее выбрать такую схему расчета, при которой движок надо будет передвигать наименьшее количество раз. Так как на точную установку движка затрачивается больше времени, чем на точную установку визирной линии, и так как каждое перемещение движка вызывает дополнительную погрешность результата, то схема расчета с наименьшим количеством перемещений движка будет давать и наибольшую экономию времени и наилучшую точность результата (исключение следует сделать только для круговой линейки, рассматриваемой далее в Приложении 3 - "Круговая логарифмическая линейка КЛ-1".

Выбор наилучшей схемы расчета мы проиллюстрируем на примерах решения некоторых типовых задач. При этом будем опираться на следующие два основных положения из предыдущих разделов.

1. Любые две пары чисел, находящиеся друг против друга на основных шкалах А (движка) и В (корпуса), при фиксированной установке движка образуют пропорцию.

2. Любая пара чисел, находящихся друг против друга на различных шкалах корпуса (или на различных шкалах движка), связана функциональной зависимостью.

Задача 1. Расчет таблицы обратной пропорциональной зависимости:

Раньше, в разделе "Расчет таблицы пропорциональной зависимости" было показано, что расчет таблицы прямой пропорциональной зависимости может быть произведен на шкалах А и В при помощи одной установки движка.

Сложнее обстоит дело с расчетом таблицы обратной пропорциональной зависимости, т. е. с делением одного и того же числа b на ряд заданных чисел х₁ > х₂ > x₃ ... Каждое деление на шкалах А и В требует отдельной установки движка независимо от выбора схемы деления, так как в пропорциях

значения y_k не стоят против значений x_k и, значит, переход от одного значения аргумента x_k к другому не может быть выполнен только за счет передвижения визирной линии.

Для того чтобы произвести расчет таблицы обратной пропорциональной зависимости с помощью одной установки движка, надо преобразовать формулу

в такую пропорцию, в которой значения y_k находятся против соответствующих значений x_k, так что перемещение визирной линии на счетной линейке будет все время выделять пары соответственных значений x_k, y_k:

Из этой пропорции видно, что для решения поставленной задачи, кроме основных шкал, понадобится еще шкала R обратных величин. Эта шкала имеется только на движке, причем если мы установим на шкале R число x_k, то на шкале А будет находиться число 10/x_k (см. раздел "Обратные величины"). Домножив знаменатели на 10, мы еще «перевернем» эту пропорцию в соответствии с нашим соглашением в разделе "Решение пропорций" о том, чтобы числители пропорции устанавливались на шкале А движка, а знаменатели — на шкале В корпуса. Запишем полученную пропорцию в развернутом виде:

Окончательно схема установки выглядит так:

против числа b шкалы В устанавливаем конец 10 шкалы А; тогда против каждого числа x_k, отмечаемого визирной линией на шкале R, читаем соответствующее частное у_к на шкале В (на рисунке принято b = 5 для значений х = 1, 2, 3, 4 находим значения у = 5,00; 2,50; 1,67; 1,25).

Задача 2. С помощью одной установки движка вычислить выражение

Преобразуем заданную формулу к виду

Составим пропорцию так, чтобы оба кубических корня можно было установить на шкале В (которая служит шкалой корней кубических для шкалы К):

Схема установки дана на следующем рисунке:

против числа а шкалы К устанавливаем число с шкалы А, против числа b шкалы А читаем результат υ на шкале К.

Примечание. Рассмотренная задача может быть полезна при составлении таблицы функции

если требуется составить ее для сравнительно небольшого количества значений а, с и большого количества значений b (так как переход к различным значениям b осуществляется только перемещением визирной линии, в то время как переход к различным значениям с связан с перемещениями движка). Если же количество заданных значений с велико по сравнению с количеством значений b, то может оказаться более целесообразным решать задачу приведением к пропорции

с использованием шкалы обратных величин. При этом установка будет такова: против числа а шкалы К устанавливаем число b шкалы R, против числа с шкалы R читаем результат и на шкале К.

Задача 3. Расчет таблицы зависимости между площадью круга и его диаметром:

Преобразуем эту формулу к такой пропорции, чтобы числа S и d можно было устанавливать друг против друга:

где С= 1,128 — специальный значок, имеющийся на шкалах А и В (см. раздел "Специальные значки").

Схема расчета. Установить значок С шкалы А против 1 шкалы В. При любом положении, бегунка визир укажет соответственные значения диаметра d на шкале А и площади S на шкале С

Примечание. Для . одноразового отыскания площади круга S по диаметру d (и обратно) можно записать пропорцию в виде:

что приводит к другой схеме применения значка С (или значка С₁): установить значок С (или С₁) шкалы А против диаметра d на шкале В и прочесть площадь S (или 10S) на шкале С против концевой единицы движка (против 1 шкалы А),

Аналогично можно применять значок С шкалы В. На некоторых линейках вместо специального значка С можно пользоваться вспомогательными, визирными линиями на бегунке: расстояние между визирными линиями в точности равно расстоянию от 1 до С.