Переход от декартовых координат к полярным и обратно. Вычисления с комплексными числами

Декартовы координаты (х, у) точки М

и ее полярные координаты (r, φ) связаны формулами

Из этих формул вытекают пропорции вида

Но теперь уже х и у могут быть как положительными так и отрицательными, а угол с изменяется от — 180° до + 180° (или, при другой нормировке, от 0° до 360°).

При любом положении точки М можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой с = r и катетами | х |, | у | так, чтобы наименьший его угол имел вершину в начале координат:

Если обозначить этот угол буквой α (0 < α < 45°), меньшее из чисел | х |, | у | через а, а большее— через b, то мы приведем нашу задачу к задаче, рассмотренной в прошлом разделе. При этом для каждой из восьми областей, занумерованных на рисунке,

зависимость между углами φ и α, а также между парами чисел (а, b) и (х, у) устанавливается следующей таблицей:

Если даны полярные координаты φ и r, то по таблице находим угол α (0° < α < 45°), затем по углу α и гипотенузе с r вычисляем на счетной линейке катеты а и b и, наконец, по той же таблице находим х и у. Если даны декартовы координаты х и у, то указанная процедура производится в обратном порядке.

Вычисления с комплексными числами. Переход от алгебраической формы комплексного числа

z = х + iy

к тригонометрической форме

есть переход от декартовых координат (х, у) к полярным координатам (r, φ).

Переход от одной формы комплексного числа к другой необходим при вычислениях с комплексными числами, так как сложение и вычитание удобнее выполнять в алгебраической форме

(z = z₁ + z₂ означает x = x₁ + x₂, у = у₁ + у₂),

а умножение и деление — в тригонометрической

(z = z₁z₂ означает r = r₁r₂, φ = φ₁ + φ₂)

Пример. Вычислить

где z₁ = 15 + 3i, z₂ = — 1 + 14i.

Сначала вычисляем z₃ = z₁ + z₂ = 14 + 17i. Затем переводим все числа z₂, в тригонометрическую форму (с помощью счетной линейки):

Вычисляем

Переводим z₀ в алгебраическую форму:

По первой таблице:

х = а = 5,58; у = β = 7,95; z₀ = 5,58 + 7,95i.